VEKTOR BAGIAN EMPAT

4.3 Komponen-komponen vektor BAGIAN EMPAT

Pada pembahasan sebelumnya telah diperkenalkan dua metode penjumlahan vektor yakni metode jajargenjang dan metode poligon. Tahap-tahap operasi penjumlahan vektor dengan metode poligon terbukti lebih ringkas bila dibandingkan dengan metode jajargenjang. Meskipun kurang efisien, metode jajargenjang secara samar-samar telah memperlihatkan kepada kita sebuah cara pandang baru yang dinamakan komponen vektor. Mari kita perhatikan lebih cermat penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang. Baca artikel sebelumnya!

Dimisalkan ada dua vektor A dan B yang saling tegak lurus VEKTOR BAGIAN EMPAT

Melalui tahap-tahap penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang, akan diperoleh vektor C = A + B sebagai berikut

Tampak pada Gambar 16, dua buah vektor A dan B yang saling tegak lurus apabila dijumlahkan akan menghasilkan sebuah vektor C yang memiliki sudut θ. Baca artikel sebelumnya!

Selain itu, Gambar 16 dapat pula dipandang secara berbeda. Sebuah vektor C yang memiliki sudut θ dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus. Bahkan, lebih jauh lagi. Sebuah vektor yang nilai dan arah nya sembarang akan selalu dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus.

Jika dipilih vektor B sejajar sumbu-x dan vektor A sejajar sumbu-y maka kita dapat mengatakan bahwa vektor B adalah komponen vektor C yang sejajar sumbu-x dan vektor A adalah komponen vektor C yang sejajar sumbu-y. Baca artikel sebelumnya!

Selanjutnya, panjang vektor B bersesuaian dengan panjang proyeksi vektor C terhadap sumbu-x (dilambangkan dengan Cx)

Cx = B

(11)

Panjang vektor A bersesuaian dengan panjang proyeksi vektor C terhadap sumbu-y (dilambangkan dengan Cy)

Cy = A

(12)

Hubungan panjang vektor C dengan panjang komponen-komponen vektor nya tampak pada Gambar 18.

Menggunakan teorema Pythagoras, dapat diperoleh hubungan antara panjang vektor C dengan panjang komponen-komponen vektor penyusun nya

C² = Cx² + Cy²

(13)

Kemudian, dengan menggunakan aturan trigonometri dapat diperoleh hubungan-hubungan berikut

Cx = C cos(θ)

(14)

Cy = C sin(θ)

(15)

(16)

dengan θ adalah sudut yang dibentuk vektor C dengan sumbu-x.

4.4 Metode analitik

Setelah memahami tahap-tahap operasi penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang dan poligon sekarang akan dibahas metode penjumlahan vektor yang lebih praktis. Metode ini dinamakan metode penjumlahan vektor secara analitik.

Metode penjumlahan vektor secara analitik tidak mengharuskan kita menggambarkan vektor-vektor yang akan dijumlahkan. Hal itu tentu akan membuat kerja kita semakin ringan. Terlebih lagi ketika kita perlu menjumlahkan vektor-vektor dalam jumlah yang besar. Agar dapat menerapkan metode analitik kita harus mengetahui sifat vektor yang dapat terurai kedalam komponen-komponen nya. Baca artikel sebelumnya!

Misal diketahui enam buah vektor A, B, C, D, E, F. Misal vektor G adalah vektor hasil penjumlahan keenam vektor tersebut, G = A+B+C+D+E+F. Tahap-tahap penjumlahan yang dilakukan adalah:

Menguraikan masing-masing vektor A, B, C, D, E, F kedalam komponen-komponen vektor yang sejajar sumbu-x dan sumbu-y. Vektor A akan terurai menjadi Ax dan Ay, vektor B akan terurai menjadi Bx dan By, vektor C akan terurai menjadi Cx dan Cy demikian seterusnya hingga diperoleh vektor F terurai menjadi Fx dan Fy. Untuk menguraikan sebuah vektor ke dalam komponen-komponen nya dapat digunakan Persamaan (14) dan (15). VEKTOR BAGIAN EMPAT
Komponen-komponen vektor G dapat dihitung dengan mudah melalui persamaan

Gx = Ax + Bx + Cx + Dx + Ex + Fx

(17)

Gy = Ay + By + Cy + Dy + Ey + Fy

(18)

Contoh 1 VEKTOR BAGIAN EMPAT

Diketahui enam buah vektor A, B, C, D, E, F tampak pada gambar.

Masing-masing vektor diuraikan ke dalam komponen-komponen vektor. Baca artikel sebelumnya!

Berdasarkan Gambar 20 dapat diketahui nilai komponen vektor yang sejajar sumbu-x dari masing-masing vektor A – F adalah: Ax + 5, Bx = –3, Cx = +6, Dx = 0,Ex = –3, Fx = -5. Sedangkan nilai komponen vektor yangsejajar sumbu-y dari masing-masing vektor A – F adalah: Ay = +3, By = +4, Cy = +2, Dy = +3, Ey = -5, Fy = 0.

Selanjutnya, menggunakan Persamaan (17) – (18) dapat diperoleh

Gx = Ax + Bx + Cx + Dx + Ex + Fx = 5 – 3 +6 + 0 – 3 – 5 = 0

Gy = Ay + By + Cy + Dy + Ey + Fy = 3 + 4 + 2 + 3 – 5 + 0 = 7

Menggunakan Persamaan (13) diperoleh besar vektor G adalah

Karena komponen vektor G yang sejajar sumbu-x bernilai nol maka vektor G adalah vektor yang murni sejajar dengan sumbu-y atau membentuk sudut θG = 90° terhadap sumbu-x. Baca artikel sebelumnya!

Contoh 2 VEKTOR BAGIAN EMPAT

Satu contoh besaran fisika yang tergolong besaran vektor adalah gaya. Misalnya sebuah benda ditarik oleh empat vektor gaya antara lain: gaya A sebesar 4 N membentuk sudut 30° terhadap sumbu-x, gaya B sebesar 6 N membentuk sudut 120° terhadap sumbu-x, gaya C sebesar 8 N membentuk sudut 210° terhadap sumbu-x, gaya D sebesar 6 N membentuk sudut 300° terhadap sumbu-x. Tentukan nilai total dan arah gaya yang menarik benda? VEKTOR BAGIAN EMPAT

Diketahui:
a. Gaya A = 4 N, θA = 30°
b. Gaya B = 6 N, θB = 120°
c. Gaya C = 8 N, θC = 210°
d. Gaya D = 6 N, θD = 300°

Dicari: E = A+B+C+D dan θE?

Terlebih dahulu perlu dicari komponen masing-masing vektor gaya. Komponen vektor gaya yang sejajar sumbu-x:

Komponen vektor gaya yang sejajar sumbu-y:

Nilai total komponen vektor gaya E yang sejajar sumbu-x adalah VEKTOR BAGIAN EMPAT

Ex = Ax + Bx + Cx + Dx = 2√3 – 3 – 4√3 + 3 = -2√3 N

Nilai total komponen vektor gaya E yang sejajar sumbu-y adalah

Ey = Ay + By + Cy + Dy = 2 – 3√3 – 4 – 3√3 = -2 N

Nilai vektor gaya E adalah

Sudut yang dibenttuk vektor E terhadap sumbu-x, yakni θE, memenuhi hubungan berikut

atau

BERSAMBUNG KE VEKTOR BAGIAN LIMA

VEKTOR BAGIAN EMPAT, FISIKA DASAR 1 KELAS X BAGIAN EMPAT. Dtulis oleh Andri Sofyan Husein, S.Si, M.Si. Merupakan salah satu guru di BIMBELQ

VEKTOR BAGIAN DUA

4 Aljabar vektor BAGIAN DUA

4.1 Penjumlahan vektor BAGIAN DUA

Satu contoh besaran fisika yang tergolong besaran vektor adalah perpindahan. Misalnya perpindahan posisi seekor katak loncat.

Agar sampai pada posisinya yang baru, seekor katak perlu membentuk vektor A sebesar 11 cm, dilanjutkan membentuk vektor B sebesar 12 cm, dilanjutkan membentuk vektor C sebesar 13 cm, dilanjutkan membentuk vektor D sebesar 6 cm. Berapakah perpindahan katak dari posisi mula-mula ke posisinya yang baru? Meskipun katak telah menempuh jarak total 42 cm, namun perpindahan katak tidak 42 cm. Hal ini menunjukkan bahwa penjumlahan vektor tidak dapat dilakukan dengan menjumlahkan nilai dari masing-masing vektornya secara langsung. Baca atrikel sebelumnya!

Selanjutnya akan dibahasa dua cara sederhana menjumlahkan vektor. Dua cara menjumlahkan vektor itu disebut metode jajargenjang dan poligon.

4.1.1 Metode jajargenjang

Misalnya diketahui dua buah vektor A dan B dengan besar dan arah sebagai berikut:

Vektor A dan B yang dijumlahkan akan menghasilkan vektor baru, sebut saja vektor C. Sehingga, C = A + B. Langkah-langkah mencari vektor C dengan metode jajargenjang adalah sebagai berikut:

Geser salah satu vektor sehingga pangkal kedua vektor berhimpit. Penggeseran vektor diperbolehkan selama tidak mengubah besar dan arah nya.
Gambar garis putus-putus dari ujung vektor A sejajar dengan vektor B.
Gambar garis putus-putus dari ujung vektor B sejajar dengan vektor A.
Gambar vektor C dari titik himpit pangkal vektor A dan B ke titik potong (titik tangkap) garis putus-putus.

Berapa besar vektor C dan bagaimana arahnya? Besar vektor C dapat diukur dengan mistar kemudian arahnya dapat diukur dengan busur derajat. Baca atrikel sebelumnya!

Panjang vektor C dan arahnya juga dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan. Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B adalah α dan sudut yang dibentuk oleh vektor C dan B adalah β sebagaimana tampak pada gambar

Panjang vektor C dapat dihitung dengan persamaan

C² = A² + B² + 2AB cos(α)

(3)

Kemudian, besarnya sudut dapat dicari dengan hubungan

(4)

Jika diketahui panjang A = 5√2 kotak, panjang B = 2√5 kotak dan sudut α = 34, 69°, menggunakan Persamaan (3) dapat diperoleh

C² = A² + B² + 2AB cos(α)
= (5√2) + (2√5) + 2(5√2) (2√5) cos (34, 69°)
= 122, 00049

dibulatkan menjadi C² = 122, sehingga C = √122 kotak. Selanjutnya, menggunakan Persamaan (4) dapat diperoleh

Sudut α – β = 34, 69° – 21, 34° = 13, 35°.

4.1.1.1 Pejumlahan lebih dari dua vektor

Misalnya diketahui tiga buah vektor A, B dan C dengan besar dan arah sebagai berikut:

Apabila vektor A, B dan C dijumlahkan maka akan diperoleh vektor baru, sebut saja vektor D. Sehingga

D = A + B + C

(5)

Persamaan (5) dapat ditulis sebagai

D = (A + B) + C

(6)

Selanjutnya, jika didefinisikan

E = A + B

(7)

maka Persamaan (5) menjadi

D = E + C

(8)

Persamaan (8) menginformasikan bahwa vektor D dapat dicari apabila vektor E sudah diketahui. Untuk mengetahui vektor E dapat digunakan metode jajargenjang. Setelah vektor E ditemukan selanjutnya vektor D dapat dicari menggunakan metode yang sama. Baca atrikel sebelumnya!

Mencari vektor E dengan metode jajargenjang.

Geser vektor B sehingga pangkalnya berhimpit dengan pangkal vektor A.
Gambar garis putus-putus dari ujung vektor A sejajar dengan vektor B.
Gambar garis putus-putus dari ujung vektor B sejajar dengan vektor A.
Gambar vektor E dari titik himpit pangkal vektor A dan B ke titik potong (titik tangkap) garis putus-putus.

Setelah vektor E diketahui selanjutnya adalah mencari vektor D dengan metode jajargenjang.
Geser vektor C sehingga pangkalnya berhimpit dengan pangkal vektor E. Baca artikel sebelumnya!
Gambar garis putus-putus dari ujung vektor E sejajar dengan vektor C.
Gambar garis putus-putus dari ujung vektor C sejajar dengan vektor E.
Gambar vektor D dari titik himpit pangkal vektor E dan C ke titik potong (titik tangkap) garis putus-putus.

Dari tahap-tahap di atas tampak bahwa penjumlahan tiga buah vektor dengan metode jajargenjang memerlukan dua kali pengulangan operasi. Semakin banyak vektor yang dijumahkan maka akan semakin banyak pula pengulangan operasi yang harus dilakukan. Hal tersebut tentu sangat merepotkan. Oleh karena itu untuk menangani penjumlahan vektor yang cukup banyak dapat digunakan metode lain yang lebih ringkas, yakni metode poligon. Baca artikel sebelumnya!

BERSAMBUNG KE VEKTOR BAGIAN TIGA

Tag: fisika kelas X