VEKTOR BAGIAN LIMA

4.5 Perkalian vektor BAGIAN LIMA

4.5.1 Perkalian skalar

Perkalian skalar adalah operasi perkalian antara dua vektor yang menghasilkan besaran skalar. Perkalian skalar disebut juga dengan perkalian titik (dot product). Satu contoh besaran fisika yang diperoleh dari operasi perkalian skalar adalah usaha. Usaha dilakukan bila gaya yang bekerja pada sebuah benda menyebabkan benda itu mengalami perpindahan. Baik gaya maupun perpindahan merupakan besaran vektor, sedangkan usaha merupakan besaran skalar. Baca artikel sebelumnya!

Perkalian skalar antara dua vektor A dan B didefinisikan sebagai VEKTOR BAGIAN LIMA

A . B = AB cos(θ)

(20)

dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B. VEKTOR BAGIAN LIMA

Perkalian skalar antara dua vektor A dan B pada beberapa sudut istimewa tampak pada gambar sebagai berikut:

Jika sudut θ = 0°, maka cos(0°) = 1 dan A . B = AB. VEKTOR BAGIAN LIMA
Jika sudut θ = 90°, maka cos(90°) = 0 dan A.B = 0.
Jika sudut θ = 180°, maka cos(180°) = -1 dan A.B = -AB. VEKTOR BAGIAN LIMA

Contoh 1

Sebuah benda berada di atas bidang datar ditarik gaya F yang besarnya 60 N dan arahnya 30° terhadap sumbu-x positif. Akibat tarikan gaya tersebut benda berpindah sejauh 5 meter searah sumbu-x positif. Hitunglah perkalian skalar dari vektor gaya dan perpindahannya.

Diketahui: Nilai vektor gaya F = 60 N, nilai vektor perpindahan x = 5 m. Kedua vektor membentuk sudut θ = 30°, berarti

Contoh 2

Dua buah gaya bekerja pada sebuah benda. Gaya F1 = 6 N menarik benda deangan arah θ terhadap sumbu-x positif. Gaya F2 = 14 N menarik benda deangan arah θ terhadap sumbu-x negatif. Baca artikel sebelumnya!

Jika usaha yang dilakukan gaya-gaya tersebut sebesar 12 Nm dan benda tergeser sejauh 3 meter, maka tentukan besarnya sudut θ?

Jika dibandingkan F1 dengan F2, VEKTOR BAGIAN LIMA

dapat diketahui F2 lebih besar dari F1 sehingga pergeseran benda adalah ke kiri searah sumbu-x negatif.

Usaha yang dilakukan 12 Nm, maka

12 = F2 . x – F1 . x
= 14 . 3 cos θ – 6 3 . cos θ
= 24 cos θ

sehingga diperoleh VEKTOR BAGIAN LIMA

4.5.2 Perkalian silang

Perkalian silang adalah operasi perkalian antara dua vektor yang menghasilkan besaran vektor. Perkalian silang disebut juga dengan cross product. Contoh besaran fisika yang menerapkan operasi perkalian silang adalah torsi dan gaya Lorentz.

Perkalian silang antara dua vektor A dan B didefinisikan sebagai VEKTOR BAGIAN LIMA

C = A × B

(21)

dengan sifat vektor C tegak lurus dengan vektor A dan vektor B. Besarnya vektor C memenuhi hubungan berikut

C = AB sin θ

(22)

dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B. VEKTOR BAGIAN LIMA

Perhatikan sebuah segitiga di dalam jajargenjang sebagai berikut. Luas segitiga dengan panjang alas b dan tinggi t adalah

Selanjutnya dimisalkan terdapat dua buah vektor A yang sejajar alas segitiga b dan dan vektor B membentuk sudut θ terhadap vektor A. Baca artikel sebelumnya!

Panjang alas pada segitiga bersesuaian dengan nilai vektor A

b = |A|

Tinggi segitiga bersesuaian dengan komponen vektor B yang sejajar t

t = |B|sin θ

Sehingga dapat dicari luas segitiganya adalah

Mengingat luas jajar genjang adalah dua kali luas segitiga tersebut,

Luas jajargenjang = 2 × Luas segitiga

Maka VEKTOR BAGIAN LIMA

Luas jajargenjang = |A||B|sin θ = AB sin θ

Mengingat definisi perkalian silang adalah VEKTOR BAGIAN LIMA

|A × B| = AB sin θ

maka

Luas jajargenjang = |A × B|

Artinya adalah nilai dari perkalian silang antara vektor A dan B sama dengan nilai luas jajargenjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Baca artikel sebelumnya!

4.5.3 Perkalian vektor dengan skalar BAGIAN LIMA

Misal A dan B dua buah besaran vektor yang searah, maka berlaku |A + B| = A + B dan vektor A+B searah dengan vektor A dan B.

Misal besar vektor B dua kali besar vektor A, yakni B = 2A,maka |A + B| = 3|A|. Sehingga dapat disimpulkan, A+B adalah vektor yang besarnya sama dengan 3A dan searah vektor A maupun vektor B. Oleh karena itu dapat kita tuliskan, A+B = 3A.

Misal C adalah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor A dan besarnya tiga kali vektor A, maka dapat kita peroleh vektor A+C adalah vektor yang besarnya diberikan oleh |A + C| = 2|A| dan arahnya berlawanan arah dengan vektor A. Sehingga dapat kita tuliskan A+C = -2A. VEKTOR BAGIAN LIMA

Secara umum jika T adalah sembarang besaran vektor dan α adalah suatu skalar (bilangan real), maka vekror αT adalah vektor yang didefinisikan sbb:

Jika α = 0, maka vektor αT = 0 VEKTOR BAGIAN LIMA
Jika α < 0, maka vektor αT memiliki arah berlawanan dengan arah vektor T, sedangkan besarnya adalah |αT|.
Jika α > 0, maka vektor αT memiliki arah sama arah dengan vektor T, sedangkan besarnya adalah |αT|.

5 Medan skalar dan medan vektor BAGIAN LIMA

Terdapat banyak besaran, baik itu besaran skalar maupun vektor yang bergantung pada posisi dan waktu. Besaran fisika semacam itu disebut medan. Baca artikel sebelumnya!

Apabila besaran yang bergantung pada posisi dan waktu itu adalah besaran vektor, maka kita menyebutnya medan vektor.
Apabila besaran yang bergantung pada posisi dan waktu itu adalah besaran skalar, maka kita menyebutnya medan skalar.

Contoh medan skalar adalah suhu pada suatu ruangan. Suhu pada suatu ruangan dengan demikian dapat kita tuliskan sebagai Mengingat posisi, r ditentukan oleh tiga variabel, yakni x, y dan z, maka sebuah medan suhu merupakan fungsi empat variabel. Sehingga, T = T (x, y, z, t). VEKTOR BAGIAN LIMA